MEMAHAMI DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang statistika.

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut

dimana

π = 3,1416

e = 2,7183

µ = rata-rata

σ = simpangan baku

Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut.

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

2. Bentuknya simetris pada x = µ

3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah.  Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit.  Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.


Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU.  Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

Z = Skor Z atau nilai normal  baku
X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran
µ = Nilai rata-rata hitung
s = Standar deviasi


Memetakan Distribusi Normal Menjadi Distribusi Normal Standard, Sebab Distribusi Normal Dengan Variabel z Ini Memiliki Mean = 0 Dan Standar Deviasi = 1.

Transformasi Ini Juga Mempertahankan Luas Di Bawah Kurva - Nya, Maksud - Nya Adalah Sebagai Berikut :

Luas Di Bawah Kurva Distribusi Normal Antara x1 Dan x2 =
Luas Di Bawah Kurva Distribusi Normal Standard Antara z1 Dan z2

Di Mana Proses Di Atas Digunakan Untuk Menghitung Nilai Probabilitas Dengan Ketentuan Sebagai Berikut :

P ( a <= x <= b ) = P ( ( a - µ ) / σ <= z <= ( b - µ ) / σ ) = P ( z1 <= z <= z2 )

Nilai z1 Dan z2 Dicari Dengan Menggunakan Tabel Distribusi Normal Standard. Berikut Gambar Tabel z Distribusi Normal :

Pandangan II
Jika x Terdistribusi Normal Dengan Mean µx Dan Deviasi Standar σx , Maka Rumusan Sistematis - Nya Sebagai Berikut :

P ( x <= a ) = P ( Zx <= ( a - µx ) / σx )
P ( a <= x <= b ) = P ( ( a - µx ) / σx <= Zx <= ( b - µx ) / σx ) = ( b - µx ) / σx - ( a - µx ) / σx
P ( x >=b ) = P ( Zx <= ( b - µx ) / σx ) = 1 - ( b - µx ) / σx

Berikut Contoh Soal Dari Distribusi Probabilitas Normal :

1. wandy Adalah Seorang calon president Yang Akan Diseleksi Dengan Tinggi Badan 173 cm. Standar Tinggi Badan Rata - Rata president Adalah 171, 8 Dan Standar Deviasi - Nya Adalah 12. Berapakah Standar Normal - Nya ( z ) ?

Jawab :
z = ( x - µ ) / σ 
z = ( 173 - 171.8 ) / 12
z = 0.1

Jadi, Besar Standar Normal - Nya Adalah 0.1.

2. Dari Hasil Riset Di Laboratorium, Diketahui Bahwa Ketahanan mie instan Berdistribusi Normal, Rata - Rata - Nya Adalah 72 Hari, Dengan Simpangan Baku 8 Hari. Jika Diambil Secara Random, Hitunglah Probabilitas Ketahanan mie instan, Apabila :
Tahan Antara 63 - 78 Hari
Tahan Lebih Dari 82 Hari
Tahan Kurang Dari 70 Hari
Jawab :
Tahan Antara 63 - 78 Hari
P ( 63 <= z <= 78 ) = P ( 63 - 72 ) / 8 <= z <= ( 78 - 72 ) 8
                               =  P ( - 1.13 <= z <= 0.75 )
= 0.75 - ( - 1.13 )
= 0.7734 - 0.1292
= 0.6442
Tahan Lebih Dari 82 Hari
P ( b >= 82 ) = P ( z >= 82 - 72 ) / 8
                     = 1 - P ( z >=  1.25 ) 
= 1 - 0.8944
= 1.1056
Tahan  Kurang Dari 70 Hari
P ( x <= 70 ) = P ( z <= 70 - 72 ) / 8
= P ( z <= - 0.25 )
= 0.4013

Pendekatan Normal Terhadap Binomial

Pendekatan Distribusi Binomial Ke Distribusi Normal Dengan Terlebih Dahulu Mencari , Yaitu :

σ = √ n * P * q
µ = n * p
q = 1 - p

Keterangan : p = Probabilitas Sukses
                        q = Probabilitas Gagal

Penggunaan Distribusi Normal Untuk Menyelesaikan Kasus Distribusi Binomial Dapat Dilakukan Dengan Menggunakan Aturan Faktor Koreksi Dengan Cara Menambahkan Atau Mengurangi Variabel x Dengan 0.5. Berikut Rumusan Sistematis - Nya :

P ( x = a ) = P ( a - 0.5 <= x <= a + 0.5 )
                                                                  = P ( ( ( a - 0.5 ) - µ ) / σ  <= z <= ( ( a + 0.5 ) - µ ) / σ )

Berikut Contoh Soal Yang Diselesaikan Dengan Cara Pendekatan Normal Terhadap Binomial :

1. Akhir Tahun 1999, Jumlah Mahasiswa Kampus Selang Sebanyak 752 Orang. Yang Mendapat Beasiswa Dari Kampus Tersebut Ada 650 Orang. Peluang Yang Mendapat Beasiswa Adalah 90 %. Hitunglah :
Rata - Rata Mahasiswa Yang Seharus - Nya Mendapat Beasiswa ?
Besar Standar Deviasi - Nya ?
Besar Standar Normal - Nya ?
Jawab :
Rata - Rata Mahasiswa Yang Seharus - Nya Mendapat Beasiswa
µ = n * p
   = 752 * 0.9
   = 676.8
Besar Standar Deviasi - Nya
q = 1 - p
   = 1 - 0.9
   = 0.1
σ = √ n * p * q
   = √ 752 * 0.9 * 0.1
   = √ 67.68
   = 8.227
Besar Standar Normal - Nya
z = ( x - µ ) / σ  
   = ( 650 - 676.8 ) / 8.227
   = - 26.8 / 8.227
   = - 3.258

2. Dari Hasil Riset Di Laboratorium, Diketahui Bahwa Ketahanan Lampu Hemat Energi Berdistribusi Normal, Rata - Rata - Nya Adalah 72 Hari, Dengan Simpangan Baku 8 Hari. Jika Diambil Secara Random, Hitunglah Probabilitas Ketahanan Sebuah Lampu, Apabila :
Menyala Tepat 75 Hari ?
Probabilitas Ketahanan Lampu 92.50 %, Berapa Lama Lampu Dapat Menyala ?
Jawab :
Menyala Tepat 75 Hari
P ( X = 75 ), Maka 75 - 0.5 = 74.5 Dan 75 + 0.5 = 75.5
z1 = ( 74.5 - 72 ) / 8 = 0.31   Dan z2 = ( 75.5 - 72 ) / 8 = 0.43
0.31 = 0.6217 ( Nilai Dilihat Dari Tabel Distribusi Normal Di Atas )
0.43 = 0.6664 ( Nilai Dilihat Dari Tabel Distribusi Normal Di Atas )
Jadi, P ( X = 75 ) = 0.6664 - 0.6217 = 0.0447  

Probabilitas Ketahanan Lampu 92.50 %, Berapa Lama Lampu Dapat Menyala 
P = 92.50 / 100 = 0.925
0.925 - 0.5 = 0.425
0.425 + 0.5 = 0.925 ( Cari Nilai Ini Dalam Tabel )
( a - µ ) / σ = 1.44
a = µ / 1.44 σ   

a = 72 + ( 1.44 ) * ( 8 ) = 83.52 ≈ 84 Hari   

Terima kasih